この距離０という意味は「相対的に距離０」という意味です。
つまり遠く離れた事象であってもその地点の観測者（Bとします）と相対速度が０（私、観測者Aに対して）であればその地点では運動する物体のエネルギーは時間の進みでγ倍になっているということです。
このことについて光のドップラー効果との関係を調べてみました。
ところでもはやタイトルとは直接関係ない感じになってしまいましたが、まあ趣味でやっていることなのでたとえばかばかしいテーマであってもなにか動機がないと勉強する気にならないものですね。 逆に言えば私のレベルではどんなものでも（たとえばかばかしいと思えるものであっても）テーマを持つのが重要な気がします。 まあ犬も歩けば棒に当たるということでしょうか。
ドップラー効果も特殊相対性理論と関係すると本当に興味深いですね。
下図は前回航路図から計算した光の到達時間と距離の図です。
------
これを観ると時間(Y軸 Ct)と距離(X軸)の値がドップラーになっているようです。
時間と距離は必然的に対称になります。
この図では宇宙船が観測者に対して運動しているのではなく観測者が宇宙船に対して相対運動しているとしています。 この方がよくわかるようです。
ドップラー効果を計算するには歯数の消化率で計算しています。
宇宙船の長さL（船首から観測の基準点まで）は基準となるように L = Cとします。
なので宇宙船の中では光は1秒で船首から観測の基準点までの距離 L=Cを走ることになります。
------
船尾側から観ると向かってくる光に対して遠ざかろうとしています。
この場合は時間軸Yの値を用いると良いようです。
なぜ時間なのか？
それは船尾から出た光が観測（つまり検出器に衝突）できる地点での値だからでしょう。
この船尾からでた光は船首で発光した光がスルーして出てくるものとします。
一方船首側から見ると（観測者Bが）向かってくる宇宙船に対して観測できるのが自身の位置を起点とした宇宙船の速度と船長です。
と、書いていて、図を観て、すると本当にそうなのかこんがらがって来ます。
まったく対称性は地獄か天国か？
立場をひっくり返しても同様に成立するので本当にこんがらがってくる。
こんなものはまともに相手してはいけない。 じゃあどうするか。 結局幸いにもどちらも成立するので慣れしかないじゃないでしょうか？
で、時間で見るとドップラー効果に対してははその逆数が働くようです。
船中では長さがCなので時間は１sec、それを外から観測するとどうなるか？
例えば外から 0.5 secで観測したものは船中では1secであるはずです。
つまり船中で F hz の光はドップラー効果を含めて外からは *1/0.5倍、つまり2倍であるはずです。
一方船長を見る場合（船首側での観測者Bが）は船中ではF hzの歯数を消費しているが外から見るとドップラー効果を含めて 0.5Lとなったものは外からは歯数は 1/2倍になるはずです。
結局ドップラー効果は船尾側では時間の逆数倍になり、船首側では単位長 Cの何倍になるかということになります。
ちなみに角度θで観測する場合は下図のようになるようです。
位置関係で上と逆関係なっていますので注意。（左が船首、右は船尾側の対応です）
ところが、いろいろ調べてみると角度θでのドップラー効果は次のようになります。
これのθ = π/2 の値は実験で確認されているとのことです。
なので上のどこかがおかしいということになります。
思い当たるのは光に向かってドップラー効果の計算で非相対論に合わせて形式を変更したところです。 つまり本来は図の関係で得られた式を素直に使えば良いのですが非相対論の形式に合わせこんだ部分ではないか。 式の変形ができたのはたまたま θ= 0 の場合だけだったのではないのだろうかということです。
ということで無理に細工せず図から得られた式をそのまま使うことにしました。
下に変更部分を示します。
また角度を持った場合の使い分けですが対称性とか考えると次のようではないかと思います。
どうも煮え切らない感じになってしまいました。 私のレベルでは断定したくてもどだい無理です。
ということで勉強中の資料という感じになってしまいました。
ところで光の場合、船尾と船首側でγの使い方が異なるかもしれないなどということになってしまいましたが船尾側の時間γ倍はどうなるのかというとこれはγ倍で良いだろうという気がします。
ここで前回の課題であった最大の問題は宇宙船の中の時間が船尾側でγ倍進んでしまっているということであたかも未来が観えているのではないかということです。
いろいろ考えましたがこれは因果を考えれば船首側での事象は 1/γです。因果の因が1/γに因果の果であるγをかければ γ/γ=1 で １を超えることは無いということで問題ないのでは？と推測しています。
あと、例えば物の運動エネルギーがγmC^2 というようにγ倍になる、これは宇宙船の船首側では 1/γでは無いのかということです。
物質と光とは異なるとは思いますがγが時間の進み遅れに関するものであるからなにか共通の影響があるとも思えます。
これは宇宙船の外にいる我々が速度V、距離0 で観測した場合でしたが結局わからないです。
光の場合は特殊だとも思えますが・・・。 なのでこれは今後の課題にしよう。 というか、もうそんな時間は取れないかもしれませんが。
後、気になるのは関連してきになるのは人工衛星の時間の関係です。
人工衛星は距離が一定で周回している場合時間が進むそうです。 それに周回速度による時間遅れが加わえて計算できるそうです。 これは一般相対性理論で計算できるそうですがこの時間の進みとなにか関係があるのかもしれないとすれば興味深いですね。
-------------
2015.3.2
いろいろ見直中ですが、角度によるドップラー効果は次のようです。
cosθが分母にあるかまたは分子にあるかは大きな問題です。
θが0とπではドップラー効果に関係があると思われる(1-β）は入れ替えるように変形できますがそれ以外では角度を持つと一筋縄ではいかないと思われます。
なぜなら、例えばθが π/2の場合速度があると実際に観測器に届く光は後方で発光した光だろうからです。 その結果 1/γ に見えているだけなのかもしれません。
特殊相対性理論による周波数の変換がγ倍であればと期待していましたがなかなか難しいようです。
例えば光は船尾をスルーして出てくるとしていますがこれを船尾に光の中継器を置いたとして、この中継器は間髪入れずつまり時間遅れなしに入力周波数と同じ光を放出できるとした場合これは発信器と考えても良いわけです。
この発信器が元周波数 f を発信するとする。 これが相対性理論によりγ倍になったら光の場合はその周波数で距離が生じても走り続けるはずです。 つまり距離 0（0でなくても距離が一定であっても） で速度Vの場合の作用はγ倍であると言えるのでは？と期待していたのですが。
まだ何かあるのではと期待してはいるのですが、 f ' = fγ(1 + or - β) の形式の方がドップラー効果として自然に思えるということだけでは残念ながら結局なんともいえないのと同じですね。
とにかく、θが0とπ 以外の場合を分析するには私のレベルでは無理っぽいですね。 なにかほかの方法を考えた方が良いかもしれません。
-------------
2015.3.3
どうにも行き詰まってしまったので何が原因なのかを調べてみました。
どうやら結果の式から色々調べようとして変形できないかを試していたのですがこの式はこれ以上変形できません。 cosθが(1-βcosθ)だけに入っているのが原因です。
θが0とπの場合はcosθが1,-1となるのである種の対称性が復活して変形できるようです。
つまり、これ以上メカニズムを分析しようにも結果を弄繰り回しても無駄だということです。
この式は計算結果がわかるだけです。
ということはこの式は何らかの操作の結果であろうということです。
その方法を見つければ光の周波数が相対性理論によってどう変換されるかわかるかもしれません。
で、式を見ていて、たぶんこれではないかな？と思うものを見つけました。
特殊相対性理論でのドップラー効果は光の向かう場合と光から遠ざかる場合で下の式形になるだろうと仮定しています。
光に向かう場合は船尾側から船首までの光を船首側から観測する場合です。
光に向かうのでドップラー効果により圧縮されて周波数が高くなります。
光から遠ざかる場合は船首から船尾側に飛ぶ光をポイント0地点で観測する場合です。
つまり、速度Vの粒子を距離0で観測することに相当するものを光の周波数の変換の様で推測しようという意図があります。
下図はその式形です。 式を変形することで通常のドップラー効果の式に類似のものが得られています。
で、その方法ですが、わかってしまえばああこんなものかと納得がいくのですが、速度Vとその光の方向分(Vcosθ)の固有時間の逆比のようです。
それが次の図です。
Vの光との直交分(Vsinθ)は上の点線で示した方向で縦のドップラー効果ですが、これがγc/γを乗ずる理由だと思います。
で、結局周波数はどうなるかですが、θが0とπの場合はドップラー効果のかかり方を見るにγ(>1)倍されると考えて良いと思います。 静止時の周波数fのγ倍です。
ところが角度を持った場合は f(1/γ)(1/(1+,-βcosθ))のように1/γがかかりあたかも低くなるように見えます。 だけどこれは (1/(1+,-βcosθ)) の項で逆に補正されています。
従って、本来はγ倍されるとするのが自然だと思います。
そう考えると速度Vの粒子も(距離0 または一定で)光も同じくγ倍でエネルギーが高くなると言えるのではないでしょうか？
-------------
2015.3.5
Vのsinθ方向には光が無いので当たり前ですがドップラー効果は生じません。
光に平行な方向には生じます。
これは、Vに沿った方向に検出器が運動しているとしてもまた仮に光が来ているとしても同じです。
ドップラー効果はcosθ方向のみに生じるようです。
ということは、上の記事のγcの変換は純粋に固有時間だけの変換です。
この変換は以前下記の記事中でやったので再掲しておきます。
最後の式はわざと ^2 しているのでルートがとれているだけです。
とにかく、この問題はちゃんと数式で決着がつくものです。
三つ子のパラドックス3 triplets' paradox 3
http://akimpotos.blogspot.jp/2013/02/2-triplets-paradox-3.html
このときは闇雲に計算していただけだったが、ドップラー効果を勉強することでこんな区別があることがわかるとは驚いた。 というより相対性理論がドップラー効果込みとは・・・。 考えてみれば当たり前かもしれませんが。
後は、θがπ/2 と 3π/2 のとき f' = f/γ となる理由です。
θが 0 と π時には fがγ倍されるのにこの場合はどうして 1/γ となるのか。
周波数が小さくなっています。 言葉で言うのは難しいので図でしますが、この図表現方法が結構難しい。 おまけに相対性の対称的な性質からどうにもこうにもこんがらがってしまいます。
だけどもたぶん考えからは間違っていないと思います。 ほかにもっと良い表現方法があるかもしれません。
で、宇宙船を１辺 L=C の正方形として正規化します。
光は上下に走るとして、光路図を流用して表現します。
結局光は宇宙船の上から下まで縦 C(m) を1 秒 で走るとすると、静止系からはγ秒かかることになる。 宇宙船の中では光はfの歯数を消費する。 これが静止系からはγ秒(1秒<)となるので同じ歯数なら周波数は低くなる。 従って f' = f/γ となる。
考え方は間違っていないと思いますが、とにかく表現が難しい。
とにかく、切りの無い話になりそうなのでいい加減この程度にとどめておきたいと思います。
-------------
2015.3.7
この際なので光の経路について図にしておくことにしました。
線9,12は下の箱に書いてもいい。 上下の線1,10,7,6 は経路をイメージするのに少し工夫する必要がある。
しかしこれはおかしいようだ、縦と横しか合ってない気がします。
-------------
2015.3.12
宇宙船の箱を割り当てることにより斜めの軌跡も表せるかもと思ったんですがどうも無理なようです。 考えてみれば変換が時間を含めてt,x,yの3次元になるので原理的に駄目だと思います。
では、なぜ縦と横の場合は何となく表すことが出来ているようだ？ ということはどういう意味だ。
たぶん、横の場合（x,ct軸）はy=0、次に縦の場合（y,ct）はx=0ですがこれは xでもyでも対応関係は一緒なので多分xに対応することもできるのでは無いかと思います。 つまりお互い直交している部う分で共通する部分があるということだと思います。 どちらにしてもこれ以上はあまり意味が無いので止めることにしよう。
