めも: 積分の複素数近似その4 :Complex number approximation of the integral calculus No.4

ちょっと暇ができたので忘れないうちに現時点での疑問点をまとめました。

とはいっても所詮素人なので、たぶんそうだろうじゃないかなあ・・・というレベル。予想と言っても良いでしょう。

1. なぜ複素数で積分するのか ?

まず、複素数を使うことで自然とベクトルで計算できると思います。

力の項を複素数で積分してエネルギーとしても複素数です。

始めは微小電荷が極の近くをストレートに通過するモデルを考えていました。

最後は微小電荷が一斉に集まり、Uターンして通過するというモデルになりました。
虚数が回転エネルギーになるということです。

Uターンモデルを使用する意味は次のとおりです。

もし電子が微小電荷に分裂したとすると一斉に飛び散るはず。

ならば、微小電荷がある一点に一斉に集まって、次にUターンして一斉に分裂して飛び散ったとします。

もしこの過程でエネルギーに差分があればそれが中心のエネルギーだろうと想像できます。

このUターンする部分のエネルギーを複素数を使い虚数軸で表すことができるのでは？

このような積分は単純な二重積分で計算できるだろう。一つ目は微小電荷の通過ルートに沿った積分。二つ目は微小電荷を集める積分。

ストレートモデルによっても一つの微小電荷エネルギーが計算できる。しかし全電荷について積分するイメージが作れない。

2. これは留数計算なのか ? ただの複素数の経路積分ではないのか ?

無限長の経路があるとすると留数の方法が使えるのではないか？（留数と異なり 2pi のキャンセルは不要）正直にいうと解析の知識はありません。ひょっとしてここでとんでもない思い違いをしているかもしれない。すべてご破算の可能性もありますね。まあ素人の言うことなので面白話として読んでもらえばいいです。

3. ポテンシャルを積分しても意味があるのか ?

この場合は中心の１点のポテンシャルの積分差を得るので積分範囲が極限で0であるからその点のエネルギー値だと思う。これも上と同じでとんでもない思い違いをしているかもしれない。ホントに物理はムズイですねえ。ポテンシャルに方向性があるというのがそもそもおかしいという話もありますが・・・むにゃむにゃ。

4. 物理モデルは正しいか ?

結果はUターンモデルと同じだが難しく考える必要はなかった。 Uターンモデルで極限まで考えれば良い。

注意この図は当時の図を使っているので中心の仮想電荷が e/2 となっています。

5. 回転エネルギーが hf / 2 とはどういうイメージか ?

まだ思案中ですが現在のイメージは次のとおり。スピン（e^(+- i*θ/2）、+-は回転方向)は1対2のギヤ比の遊星歯車でエネルギーが与えられると思う。（エネルギーの与えられ方なのでこれで遊星運動をしているというイメージを持っているということではありません）

6. スピンの運動量が h/λ と h/(2λ) の違いは ?

保存量としての運動量は P = h/(2λ) なのでこれを方程式を解く場合は使用する。 P = h/λ は方程式解いた結果として得られる対応。電子の自転エネルギーは他のものと反応しない閉じ込められたエネルギー（定数的なエネルギー）なので結果の運動量を使うべきだと思う。

ところで、古典力学では力から運動量、エネルギーが導かれている。しかし、光子ではまずエネルギー E = hf があってそこから運動量を物理的対応（つまり仮定から）から導いていたと思うが、上の保存量は数式で導いた。ということで、具体的アプリケーションが得られたのがなによりですね。驚くほど簡単な式なのでなんというか量子力学の初等教育用にお勧めだと思うんですけど。なにしろ量子力学の始めに感じた不思議さをガックーンと和らげてくれると思います。とはいってもEMANさんなどのHPみるとその後がまた大変な感じですけど。

7. スピンの運動量 P = h/λを得るためには条件は ?

どのような形式であれ方程式を解く。このとき使用するのは保存量である P = h/(2λ) 。

解析的に解けるようにするために近似式を得る。（以前特殊相対論のエネルギーから弾性衝突を解こうとしたが結局解析的には解けなかった経験から。数値計算ではもちろん計算できる。定点定理を使えば簡単。）

これ以上は私の能力を超えてます。お手上げです。

8. 中心のエネルギー値が得られたとして確かめる方法はあるのか？

中心のエネルギーは小さすぎるので直接測定するのは不可能では？

--------------------
2014/3/4

ふと気づいたけど、考え方が逆だったんじゃないだろうか。
いままで電子が微小電荷の集まりでできているとしたら無限の力で押込められていると思っていた。
すると、つまり無限のエネルギーを与えているので無限の質量を有すると考えてしまう。
しかし実際の電子の質量は非常に小さい。
これは現実の電子とまったく合わない。

なのでこう考えたらどうだろう。
もし電子がスピンなどの中心のエネルギーを持っているとする。
もちろんこれは実験で確かめられている。

次に、もしも電子が微小電荷に分解したとしたとする。
そしてその微小電荷が中心の回転エネルギーが在るとしたらどう分裂していくのかを考える。

もし上に書いた遊星歯車のモデルであるとするとそれは次のようなイメージで表されるかもしれない。

分裂した後の微小電荷の微小質量がそのスピードに応じて例え無限大の質量を持っても一向にかまわない。
なぜなら、それはもはや電子ではない物だから。それはポテンシャルに応じてそうなるだけだ。
ポテンシャルがあるからといって既に無限大のエネルギーを有しているわけでもないだろう。
つまり、ポテンシャルに応じて運動して初めてエネルギーになるだろうから単にそのように計算ができるというだけに過ぎない。

分裂した直後のスピードが0の時はエネルギーは０である。
さらに分裂してスピードを得てももはや電子でない仮想のなにかが非常に大きなエネルギーを持っているだけである。しかもそれは単に実際にはありえない計算をしているに過ぎない。

したがって、中心のエネルギーを計算するためには電子が分裂したらというありえないばかばかしい仮想で計算される無限大のエネルギーをキャンセルすれば良い。
これがUターンモデルであろう。たぶん・・・。

このように考えると電子は点ではなく何かの構造を持つものになってしまう。
そう考えれば以前書いた物理モデルの過渡期のイメージはいかにも不自然であった。
このモデルでは電子は純粋に点であった。

一方uターンモデルは電子は点ではなく何かの構造を持つことになるが極限まで計算できる。
とすれば、案外ストリングセオリーのようなものもありえるのかも知れないという気になってきた。

まあ、なんと言うか、つまりありえない仮定（仮想）で計算されるものはなにか対称性を使って仮想部分をキャンセルしてしまえという話です。そうすれば非対称部分が残るのでそれが何かを考えろということなのでしょう。たぶん・・・。

--------------------
2014/3/6

ついでなのでこれを「仮想分裂法」と名づけよう。
とはいっても私自身こんな話を本気にしているわけではないんです。
面白がって書いてるうちにどうにも妄想が止まらなくなってしまった感じです。
よくもまあ次から次とネタが続くもんでだと我ながらあきれたもんです。
まあ、なんといいますか、エネルギーから運動量を導く以外は素人の書く面白物理のおまけみたいなもんですが。

--------------------
2014/3/17

仮想ということであると割り切れば

1. 計算でエネルギーを取りこぼさない。またはロスが無い。

2. 簡単な式で計算できる。

3. 中心のエネルギーの性質を反映している。

4. クーロン力の性質を利用している。

等の条件を満たせばどんなモデルでも良いと思う。

Uターンモデルは微小電荷をU字の鋼体のレール上の経路で計算していると考えることもできる。
これは鋼体なので経路上でのエネルギーのロスは無いとできる。

このように考えると、始めUターンモデル等、複素数の使用もなんだか人工的過ぎて不自然な感じがしたものですが、意外と理にかなっているものかも。

ところでポテンシャルのこんな使い方本当に良いのだろうか？ポイント0地点の（つまり積分範囲0の）エネルギーの積分値だからエネルギーそのものであると思うんですが、どうなんだろうか？

--------------------
2014/3/21

同じく仮想法であるなら微小電荷の経路は対称（もしかしたら反対称かも）でありさえすればよいのだからループでも良いはずだ。
これで単純に *2pi で計算すればよいのではないだろうか？

ところで、佐藤の超関数ではさらにエネルギーが 1/2 になるが、佐藤の超関数は直線で極の近くを通るイメージであるから、回転ではない。
従って回転エネルギーを計算し切れていないと思う。つまり、回転していない場合の分裂モデルに過ぎないと思う。
というより、回転していないのなら分裂すると超関数の経路の直交方向に分裂していくはずである。
ということは、結局モデルも作れない意味の無い計算であると思う。

上のイメージでは微小電荷を押込み（圧縮）で仮想電荷の真上に持っていったとする。
微小電荷がエネルギーを計算するためのレール上を動く為のベクトル力が働くためには少し右にずらさないといけないがこれが何によるかイメージできない。
おまけに対称的（反対称的？）でもない。

・・・などと、もっともらしい理屈をこねくり回してみたんだが・・・どうなんだろ。
とにかく、無理やりでも何かをイメージしないとさっぱり話が進まないので・・・。

--------------------
2014/3/22

いやいや、どうも違う。
超関数の場合は極の近傍だけで値が出てくるのが問題だ。

lim d/L --> 0 で成立する。

なので lim L' --> 0 であれば直線モデルでも良いはずだ。

ということは、円周の積分と等価（つまり *2pi）になるためには L = 無限であれば良いのではないだろうかと思う。

いやしかし、やはり直線モデルは駄目なような気がする。

元々の考えに戻ってみる。

1. ポイント0 のエネルギーはポテンシャルを積分したものであるが積分範囲が 0 の値である。

2. これはある意味無限遠方を基準としたポテンシャル値（エネルギー値）である。

なので無限遠方の経路は考慮に入れなければならないと思う。

3. さらに、これが回転エネルギーであるとする。

これが仮想的に分裂してスムーズにエネルギーの取りこぼし無くかつできるだけシンプルに計算できる経路を想定するべきだと思う。

ということを考えると下図のような U ターンモデル（又はループモデル）で良いと思う。