積分の複素数近似 その6 :Complex number approximation of the integral calculus No.6

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2014/5/11

続き

http://akimpotos.blogspot.jp/2014/04/5-complex-number-approximation-of.html


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2014/5/13

回転エネルギーを体積から計算する前にぜひとも解決しておくべき問題をまず片付けておく。

前回の続きで体積からの計算をしようと思ったのですが、それは多分まず間違いなくできると思う。

それよりも解決すべき問題とは、力が円周に継続してかかり続けるものだろか？ということです。

とにかく、今はそれぞれのパーツを確認している段階ですが、重要度の高い問題をまず解決しておきたい。

上の式を見て回転エネルギーを計算するのに力が継続して働いているという計算式になっている。

力が継続して加わるということは継続して加速度運動をしていることを意味している。
実際こんなことがあるのだろうか？

そこでまず回転に伴う向心力について観てみる。

向心力は次のようにして計算できる。

m は円周を一定の速度 v で回転している。

向心力 Fa は mv^2 / r となる。

ここで、注目する事は

1. 分母が半径 ｋである。 つまり 1/k である。 これは中心のエネルギー Ek が2次元では同じく 1/k になることである。 
2. 分子は mv^2 である。 これは運動エネルギー  mv^2/2 と何か関係がありそうである。

今までの記事を書いてきて、これは何かあるはずという直感がある。

このテーマがなければ、留数計算と向心力に何の関係があるのかと思うだろう。

しかし、今、私は 留数計算の背景にはある物理モデルが存在するだろうという思いが強い。

上の向心力は速度ベクトルの関係から求めたものである。

しかし、微小膨張収縮モデル、つまり仮想分裂モデルでは実際の飛行経路が必要である。

上がその経路である。 みかんの一房が反時計回りに回転するときにΔθの一刻みの経路である。

微小経路は近似式である。 赤い線で示す向心力の経路は kΔθ の更に Δθ を乗じたものになる。

幾何的経路で計算した経路長 dl'  と向心力 Fa による計算から得られた経路長 dl は同じになる。

したがって幾何的モデルは上で正しいと思う。

lim Δθ-> 0 で向心力のベクトル（赤い矢印）は限りなく正確に中心を指すようになる。

また、青いベクトルで示す回転ベクトルも限りなく正確に接線方向になる。

問題は向心力から回転のエネルギーを得る方法である。

此処までくると推測するのは難しくない。

Δθの一刻みで定速度 v まで加速してやれば良い。そうすればΔθの周積分で計算できる形にすれば 1/2π でキャンセルするだけで回転エネルギーが得られるだろう。

その式では加速度が円周に継続してかかり続けるように見えるのだろう。

此処で気づいたのだが いままで複素数 1/z で回転エネルギーを計算するのに留数計算の2πのキャンセルはいらないだろうと思っていた。

しかし、上のようなものであればこれは必ず必要な意味のあるものではないか。

つまり留数そのものが中心のエネルギーではないのかということである。

上の図で明らかにわかる矛盾は赤い向心力の経路と青い円周方向の経路の終点が一致しないことである。

とりあえず円周方向で 速度 v まで加速させてみよう。

上で求めた円周方向の加速度 B は B = 2v となり矛盾が発生している。

また向心力の経路と円周方向の経路の終着点が一致しない。

これはどういうことであるか？

回転エネルギーも求めてみる。

向心力を求めた式では幾何的な経路長と、加速度により求めた経路長は一致している。

なので向心力については問題ないだろう。

この矛盾は何処から来るのだろうか？

式の表すことを素直に解釈すれば

• 円周方向の経路は長すぎる。 だからエネルギーが2倍になる。

これと終着点が一致しないことを考えると、エネルギーを正しく導くためには次の関係でなければならない。

これであればエネルギーも正しく計算できる。

しかし、下の拡大図あるように円周方向の経路長が弦を越えて下に入っている。

これでは半径方向に無視できない程の経路がありエネルギー差が円周方向のエネルギーにもか

かわらずポテンシャル差が存在する。

これは明らかにおかしい。

だけど、これは微小部分を目に見えるほど大きく描いているのでおかしいと感じるだけのようです。

究極では青い線も、ピンクの弦も、黒い接線もすべて接線に限りなく近づく。

一見するとイメージに騙されそうになります。

だとすれば、これは一体どういうことかと一日悩んだあげく気がついた。

式が示すことを信じるなら上の関係になるはずです。

Δθ --> 0 で全体として接線に限りなく近づく。

近づき方も素直な感じでありエネルギーが何らかの比例関係で制限される様子も無い。

究極的には円周上を這うエネルギーが得られると思う。

私としてはピンク線の弦の上に綺麗に乗っているような図を漠然と想像していました。

なのである意味、崩れたような上の図は少し驚きました。

しかしよく考えるとこれでも理があります。 究極的には円周に沿えば良いのですから。

点線で示される経路が膨張です。 実践で示される経路が収縮です。

同様に力では向心力と遠心力になります。

仮想分裂法では反発と押込みに対応する事になります。


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2014/5/30


時間の取扱いが明確でなかった。

微小膨張収縮では慣性エネルギーを計算するのに進角のΔθの１刻み毎に 速度 0 から慣性速度 vまで加速させているわけです。

だから計算に使う時間も単なる時間ではないと思う。

区分けのために Δθの１刻みの計算に使う時間を内部時間 t'、その計算に外部から与える時間（積分範囲の時間） tを外部時間と呼びます。

この時間スケールの違いは向心力の方向と円周方向で同じにならないとおかしいわけです。

計算するとその関係は両者とも t' = 2t  という関係です。

どうやら内部時間は外部時間の2倍早くないとちゃんと計算できないようです。

これで、 半角 Δθ/2 、時間 Δt / 2 の間に得る速度を計算すると 慣性速度 v と計算できます。

ということは詳しくは計算などできる段階ではないのですが 1/z の積分には半角の関係もあるということでしょうか？

後、気になることは微小膨張収縮法では3次元の場合球全体が圧縮膨張するわけですが今までの計算を見てわかるようにj軸に並行する分は計算に入っていません。
もっとも電気的な作用では軸に平行な方向分は回転による面積を生じないので計算しないでも良いのかもしれません。
機械的ななぞらえのものであっても同様で軸に並行分はやはり作用しにくい。
だけど横から見るとそれにも軸方向の面積が生じることになります。
だけどこのような回転がどのようなものなのかは私には想像もつきません。
なのでこのテーマではあくまでもある軸を想定するとその回転だけについて限定しようと思います。


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2014/6/5

試みにもし電子が半径を持つとしたらどうなるか計算してみました。

電子の半径の計算は調べてみると色々な考えもあるようだけど現在のところどれも定まってないよう
です。  電子に半径は無く点であるという話も在ります。

しかし、もし半径があるとすれば

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%AD%90

にあるように   理論値 1.0×10⁻³² m   =<  radius < 実験値  1.0×10⁻²² m のようです。
このテーマの場合は エネルギーが定まれば E = hf / 2  の関係で回転数 ｆ が定まるとして計算してみます。
この回転数を得るためには 半径 k がいくらでなければならないかが決まるのでは？ ということです。

というのはもし回転しているとすれば、回転するためには 1/k に対応する向心力が無ければ回転しないんですから。
つまり 半径 k が定まるということです。

向心力としては引力であろうとクーロン力に対するものであろうと同じ働きを持つようですので応用できると思います。

上の式を計算したものが次になります。

半径 k = 2.444   10^-26 となり理論値 10^-32 よりはかなり大きな値となってしまいました。

電子に適用するとしても半径の問題は難しすぎるのでこれ以上は進展はなさそうです。

だからこのテーマは 電子云々については諦めて（当に諦めてはいましたが・・・）、単に 「留数の物理イメージを探る」 という範囲に限定したほうがよさそうです。

それでも今まで謎だった 2πのキャンセルの必要性だとかが具体的に解ったし、素人のテーマとしてはそのほうが結構意義があるようです。 まあ教育用のトリビアねたにはなるかもしれません。

私自身としてはいままでの記事でほぼパーツを集めれたと思うので最後はこれを纏めたいと思うのですが、なんかパーツを集めただけで満足してしまって纏めるエネルギーがなかなか湧かないのが悩みですね。



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2014/6/8

上の計算の補足事項

1.   Ek と 運動エネルギーは非常に小さいようだ。 なのでこれで半径を計算すると非常に大きい。 従ってこれが半径を決めているとは考えにくい。

2.   では何が半径を決定しているかということになるが、質量エネルギーが原因であろうと仮定した。 質量エネルギーで回転数が決まれば半径が計算できることになる。

3.    向心力はつりあっている反発力と等しいだろう。  電子を鋼体的と考えると反発力と等しい向心力を持つと仮定した。

4.    ポテンシャルエネルギーは対数 ln (k) になるが、これと半径の関係も考えられるが、対数なので半径が非常に大きくなるので要因とは考えにくい。 また、これは微小膨張、収縮に伴うものだから本来相殺されて 0 になるべきものとして計算に入れてない。

5.    Ek は半径 k によらず一定の値になる。 回転数が質量エネルギー Em で決まるとすれば Ek は Em に添う（イメージとしては例えば伸縮性のある服のように Em という体に自然にフィットして）ことでそれの向心力を計測するセンサーのような機能をもつエネルギーであるとした。 とすればEk の向心力で半径 kを計算できる事になると仮定した。


後、このテーマでぜひ明記しておきたいこと。

1.    電子自身の計算では、もし電子というものがこのテーマで論じた構造に準じた構造を持つ場合（概念的なものを含めて）、複素数 1/z の項は3次元での力 1/z^2 を積分する前に2次元に縮退したものではないのか？ つまりこのテーマでは向心力になる。

2.    実数近似とした場合、 力は z = k + id -> k  （if k  >> d)  となりあたかも 力 1/k^2 を積分したものと同じになる。

3.    複素数の世界では 直線部のエネルギーは 対数 ln() になる。 しかも実数で出る。

4.    なので、電子には力とエネルギーに意味の重複を起こさせる何かの隠された構造があるのではないだろうか？  もし点ではなく何らかの構造があるならば、うーん、何でしょうか？

5.    もしそうならば、 1/k は力なのでエネルギーの計算に入れる必要は無い。  ln () はエネルギーだがこれは微小膨張、収縮に伴うものだから本来相殺されて 0 になるべきものでは無いのか？


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2014/6/15

めも

1.     1/z は円周に対応する。 イメージとしては正確には円周上を回転する点電荷 q を表す。

2.     1/z^2 は球の表面に対応する。  イメージとしては回転する球の表面を表す。内部がつまった物ではない。 今までの計算では内部が詰まったものとしていたがこれはガウスの法則に合わない。 なぜなら中心に近い殻の部分は中心の仮想電荷が変化するはずであるから。  幸い計算結果に変化はないはず。 なぜなら電荷 q を表面に均等に分布しているとすれば良いだけだから。

3.    なので3次元世界では 電荷は球の表面に均等に分布していると思う。

4.   1/z^3 は内部が詰まったモデルをあらわすと思う。  距離の３乗になる理由は 2. 項のガウスの法則による中心の仮想電荷が変化する為だと思う。  多分ちゃんと計算すると辻褄が合うと思う。
だけど、これは4次元球の表面（４次元球の表面なので3次元になる）なので3次元世界には存在しないのではないか？


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2014/9/9

2ch の物理板を見ていたら 「量子チェシャ猫」の話題があった。

どうも粒子と空間は非常に密接な関係にあるらしい。 ほとんど一体として扱うべきなのかもしれない。
そう考えるとこれも意外とありえるのかもしれない。
エネルギーが空間のゆがみで自然に回転するとそれが粒子になるのかも。
粒子が運動すると螺旋に軌道を描くと考えることもできる。 その軌道は予定航路のようなものであるとも考えられる。 軌道を完全に塞がない限りその予定軌道は分割されても干渉して位相の強弱で干渉するのではないだろうか？   と素人なりに想像してみると空間というものが空虚では無く、なにかしら物理的に何か物質に近いような物にも思えてきます。

あと、思い浮かんだことといえば、 複素数 1/z の積分、実数では 1/x の積分が log になる事だけど、log は回転のポテンシャル？と考えれば何となく納得できる気もする。
回転であれば今回転している状態が ポテンシャル0 ではないだろうか？
軌道が変わる場合エネルギー差がlogで計算する事になるのでは？

ところでこの世界では本当の直線運動って本当に存在するのだろうか？
短い距離では直線と計算できるだろうがマクロで観れば回転ではないのか？
そうなら 複素数で計算するのもあながち不自然では無いような気がする。

さらに、馬鹿なことだと思うのだけど、粒子が対生成して分裂した時もそれぞれは実際には楕円軌道である種の結合関係を保ちながら分裂しているのではないだろうか？
この場合は、中心にはある仮想電荷（ガウスの法則が働いているとして）なりがあって回転力があるのでは？   などと想像してみるのも面白い。

とにかく我々のいるこのいわゆる「空間」というものは実はとんでもない物なのかもしれない。
何しろ重力などでも歪むし、運動するだけでも縮むし、時間までもそれに合わせて変わるというのだからとにかくまともな物でない事は確かだろう。 更には粒子まで作り出すかもしれないのだから。