(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その12

今までエネルギー保存の法則から運動量保存を見てきた。「(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その1」 では小学生でも解けそうな差分（引き算）から導き出した。 世にあまたある運動量（らしきもの？）の導き方としては最簡単なものの一つじゃあないかしらん。
運動量導出コンテストがあったら優勝しそうだ。
特殊相対性理論のエネルギー保存則からは微分で導き出した、（運動量対応分 γ*m*v  そのものがずばり出てきたのにはプチ感動）微分もある意味ある地点の差分ともいえるので、とにもかくにもらしきものがでてきた。
ところで、式をよくよく見ると別に次数は何次でもかまわないことにきずいた。

たとえば3次式では  (v1+B)^3  + (v2+B)^3 = (u1+B)^3 + (u2 + B)^3

これをBで微分して B-->0 とすれば v1^2 + v2^2 = u1^2 + u2^2  となる・・・・・ええと、これはなに・・・・。  最後まで微分したら定数にもなるし。正直よくわからんが 「エミーネータさんの定理」にかんけいあるのかしらん。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

wiki では「系に連続的な対称性があればそれに対応する保存則が存在することを主張するものである。」とあるが、この対応は一つに限られるのだろうか？

まあ内容を見てもちんぷんかんぷんです。ハイ、EMANさんとこで解析力学本格的に勉強してみようかな。

しかし、上の式を見てみるとまず最初の式に保存則があるとすれば（= の関係ありと仮定するということ、共通の数学的操作を施せること・・・・）、N次では N-1次の保存関係があり、さらにまた微分をしていくといくらでも保存関係が存在するような気がする。

また関数は連続微分できればテイラー展開できることも思い起こすと・・・、必ず
つまり、「ある保存関係があれば、必ず別の保存関係が存在する」ということがいえるのじゃあないだろか？  私はこれを「保存量は一つじゃないかもの定理」と呼びたい。

酒を飲みながら書くとずいぶんと気安くかけるあなあ。

ところで、フリーの数式処理ソフトのMAXIMA、勉強中なんだけどこれ本当にいいねえ。 これ作ってくれた人ありがとう。
これで特殊相対性理論の速度合成を出してみたのだけど、ほんとたすかるわあ。 しかしいろいろなサイト見たけど速度合成、素直に数式(逆行列）でだせばよいのに何でああわからないんだろう？
物理だからいろいろ説明するためにかもしれないけどよくよく考えるといつの間にか対象が光速で走っているものがあったりして・・・。素直に斜交座標（の図で説明して）と逆行列で出せばいいのに。
式を以下に載せておくのでMAXIMAにコピーすれば使えます。
詳しい説明は無いのでわかりにくいですけど、シナリオは U space とあるのがロケットの中で、v space とあるのが ロケットの中で動く点で（ロケットの中の人が見て）よくある光路図の列車のたとえで列車のお尻の点になってます（時間軸の上のみの点になります）・・・・て書ききれないな。まあいいや。もっと簡単に座標１段でも出ますけど。（ロケット中の座標でも、この場合時間軸と距離軸に値がありますが時間と距離の読みはγ倍すればよいです）

-----------------------------------------------------------ここから
/* [wxMaxima: comment start ]
u space
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
beu:u/c;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
gmu:1/sqrt(1-beu^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
tsu:gmu*matrix([1,-beu],[-beu,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp1:invert(tsu);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(temp1.tsu);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
v space
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
bev:v/c;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
gmv:1/sqrt(1-bev^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
tsv:gmv*matrix([1,-bev],[-bev,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp2:invert(tsv);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(temp2.tsv);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
outvct:matrix([gmu*gmv*(c*t)],[0]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp3:temp2.temp1.outvct;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp3[2]/(temp3[1]/c);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
-----------------------------------------------------------ここまで

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その11

特殊相対性理論ではエネルギーから微分で運動量保存をだしたが、近似域でも同様に微分からでも導き出せる。

近似域のエネルギー保存の式

式2 宇宙から m1*(B + v1)^2 + m2*(B + v2)^2 = m1*(B + u1)^2 + m2*(B + u2)^2

これをBで微分すると

2*m1*(B + v1) + 2*m2*(B + v2) = 2*m1*(B + u1) + 2*m2*(B + u2)

これで、B = 0 とすると

2*m1*v1 + 2*m2*v2 = 2*m1*u1 + 2*m2*u2

となり運動量保存の関係がでてきた。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その10

運動量保存を削り出すにはやはり特殊相対性理論で元から考えないといけないようです。
特殊相対性理論ではエネルギーは γ*m*C^2です。今回も２体の弾性衝突では
WikipediaのElastic_collision にあるOne-dimensional Newtonian と同じようにエネルギー保存の式をたてます。 今回は数式処理ソフトのmaximaを使ってみます。結果はイメージで載せることにします。
まず、前提条件ですが、今度はある宇宙船の中で弾性衝突しているとします。Cは光速
B 宇宙船の速度、宇宙船の中では、v1，v2 球の衝突前の速度、 u1,U2 球の衝突後の速度、 m1，m2 球の質量
特殊相対性理論ではこれを宇宙船の外から見た場合それぞれの速度は速度合成（covとします）によります。
cov = (B + V)/(1+B*V/C^2) です。
弾性衝突のエネルギー保存の式は、γv1 をv1のガンマ等、covv1をv1のcov等として
γv1*m1*C^2 + γv2*m2*C^2 = γu1*m1*C^2 + γu2*m2*C^2
となります。  γv1 =  1/sqrt(1-covv1^2/C^2) となり。v1，v2, u1, U2 について同じかたちなので
γ =  1/sqrt(1-cov^2/C^2)で考えることにします。運動量保存は速度Vの一次の式なのでこれを削りだせないかということで弾性衝突のエネルギー保存の式をBで微分します。これはガンマだけを微分すればよいので簡単です。
弾性衝突において v1，v2, u1, U2 は不変です。なのでこれで微分することはできません。
diff(gamma,B,1);の結果をみればわかるように微分できました。
これでBを0としますと結局宇宙船の中の人と外の人は同じことを観測していることになります。
diff(gamma,B,1)の結果でB=0としてみると
結果、 -m*V*(1-V^2/C^2)^(-1/2) =  m*V*γ となります。マイナスは約分で消えます。したがってこれの
v<<C の時の近似値は m*V となり運動量保存則の近似がでてきました。
これと同じ結果は 特殊相対性理論でのエネルギーの部分 m*V*γ*C で保存則が成立するとした場合と同じになります。 ただし、これはあくまでもエネルギーであって、今回の場合は運動エネルギーγ*m*C^2のみが保存するとした場合のみから計算だけで導き出せました。つまり運動量保存則は定理であるといえるのでしょうか？.  それにしても運動量というのがやはり相対適な関係から出てくるのには驚きますね。
参考  http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum    の Modern definitions of momentum

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その9

今日は休暇
EMANさんの掲示板には受理されなかったようです。
仕方ないので自分で考えることにしました。
特殊相対性理論のエネルギーの式を使って運動量保存を削り出せないかと思案中。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その8

いろいろな意見を求めて有名サイトさんに教えをこうことにした。
今日はEMANさんとこの談話室に投稿したが、受理されたが直ぐには反映されないようだ。
あせって2度も投稿してしまった。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その7

それともう一つ、

7) 欧米がもし過去に失念しているものとしても、教育用として復活させることができるとしたら、古典物理学的な歴史で日本が時間差で貢献というか、割り込んだというか、何か愉快である。

アア、いかん、もはや妄想に入り込んでいる。 ○|￣|＿　まあ仕方ないよなほとんどromだけど2chネラーだから

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その6

このような忘れられたかのような古典物理で今更あーだこーだとほじくり返す意義について思ったことですが
一次元に限定してもこれが正しいと仮定した場合ですが、古典物理学教育用としての意義はあるのではないでしょうか。
なぜなら

1) 運動量の導出が数式ではっきりわかること。
2) 運動量保存はエネルギー保存の法則からのみ導き出せるとするなら、これは定理である
3) 一次元とはいえ、運動量がベクトルであることが言える、次のベクトルとしての解釈につなげることができる。
4) 相対的なエネルギー分のB・Vはベース速度のBがB=0(B->0)でも運動量部分Vは生きていると考えられるという物理学的な解釈をすること。
5) 球の弾性衝突であれば実験で確認しやすい
6) 特殊相対性理論での近似としての運動量が古典物理でも相対性からだせること。

とひねり出しましたがどうでしょうか？

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その5

運動量が相対性から出るのならハミルトニアンとかも結局エネルギー保存の相対性のものではないのかしらん。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その4

3次元での二つの球が衝突する場合でも結局1次元での玉の衝突と同じではないのかと思う。
なぜなら、二つの球の走る直線を含む平面の座標系で考えれば2次元になる。
更に二つの球が直線衝突する座標系で考えれば1次元になる。
全体でどうなるかはちゃんと数学的に記述しなければならないのだけど…
今忙しいので今度暇ができたらトライしてみようかな。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その3

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その2 で運動量はベクトルで扱うという意味について思ったことを書き漏らしているので補足します。

1) 速度は本来ベクトルであることからエネルギーの二乗部分の内積は

(B+v)・(B+V)=B・B+2B・V+V・V とすると 従って B・B と V・V は内積でスカラとなり
差分で残る 2B・V を約分していくと結果運動量ベクトルの等式として残ったのではないかということです。
元々速度をベクトルであると扱えば、運動量というのは速度の一乗項なのですから
運動量もまたベクトルであるといえるのでしょうか？
ここいらの本源的意味を理解するには私では力足らずです。
だれかここを見られた方で良い資料があれば教えてください。(お金がないので無料にかぎりますが^^);

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その2

2chの「高校生のための物理の質問スレPART1 」で色々教えてもらったのでまとめておく。

1) 1次元の(弾性衝突)の式として限ってはこれでいいということでした。
1次元であれば符号がベクトルの方向になるので、つまり代数でかたずくということです。
また本来運動量はベクトルであるとのことで、これについては3次元で考えると運動量は1次の項なので
必然的にベクトルで扱う必要があるためと思います。アインシュタインの特殊相対性理論も簡便にするため
1時限で理論を組み立てているということと同じです。

この元ネタは WikipediaのElastic_collision にあるOne-dimensional Newtonian

http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision


2) 空間の並進対称性を使ってるように見える 、エネルギー保存則と見せかけてその実運動量保存則だ。
これは、運動量がでるまで、ほとんど引き算だけで導きだせる、つまり差分であるので
並進対称性部分(引きされる分)を除くと実質運動量の保存則ではないかということでした。
ですが、元の式は確かに運動エネルギーの保存式であるので、これはやはり相対性を使って運動量保存則を
削り出したということだと思います。ところでこの運動量の部分はベース速度Bが0になるとやはり0になるが、
これはある意味0*運動量と考えると運動量部分は0ではなく、つまりたとえBが0でも運動量保存部分は生きている
と考えることもできます。(Bが極微小の場合とおなじです)

3) 式3の舌足らず
式3は舌足らずで両辺にある m1B^2 、 m2B^2が打ち消し合うので
残るのは
m1*2Bv1 + m2*2Bv2 = m1*2Bu1 + m2*2Bu2 となります。 これ自身はエネルギーです
2Bも打ち消しあって残るのは m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ということです。
積記号の使い方が乱れてますが脳内補完よろしく願います。

ということだった。
1次元に限ってはまあokということで少しうれしい。
まあこんな式は大昔に物理学者が当然考えているはずだし、総合的に現在の体系があるはずなので
これについてはこのぐらいにしよう。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？

運動量保存則はエネルギー保存則より導くことができる。

B 地球の速度、 v1，v2 球の衝突前の速度、 u1,U2 球の衝突後の速度、 m1，m2 球の質量


式1 地上で m1v1^2 + m2v^2 = m1u1^2 + m2u2^2

式2 宇宙から m1(B + v1)^2 + m2(B + v2)^2 = m1(B + u1)^2 + m2(B + u2)^2

式3 = 式2 - 式1 m1(B^2 + 2Bv1) + m2(B^2 + 2Bv2) = m1(B^2 + 2Bu1) + m2(B^2 + 2Bu2)

で、運動量は m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2

となり運動量の保存則がなる。 また式3と式1より球の衝突後の速度がでる。

これでめでたしとなるかもしれないけれど、引き算で運動量の保存則が出るだなんて、イクラナンデモ、これはね〜よな、小学生レベルだよな

だんだん自信がなくなってきた、こうなったら2chの物理板で教えてもらいにいこうっと

テスト

test