(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その16

ちょっと思いついたこと。

エネルギーの等式を微分して運動量が出る。それをさらに微分していくと質量の等式になる。
どうやら保存量は保存量から創ることができるみたいだ。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その10、   http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/10.html
(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その11、  http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/11.html

つまり最後には古典的なものでは(特殊相対性理論で V<<C の近似域では).

m1 + m2 = m1 + m2

 質量は保存して当然と思っていたけど特殊相対性理論理論では質量もまた速度により変わります。
そこで、特殊相対性理論のエネルギーを微分して運動量をだしたのと同じ要領で運動量を更に微分してみると(相対速度で微分なので等式の関係が保たれているはず)

結果は γv1*m1  + γv2*m2  = γu1*m1  + γu2*m2   となりました。

逆回しでいけば積分で      質量-> 運動量 -> エネルギーとだしていけます。 (d(B+v)=dBで積分)

いままで  m1 + m2 = m1 + m2  はあまりにも自然で当然と思い込んでいたのですが、特殊相対性理論の速度を含んだ等式をみるとひょっとして質量の保存も法則であるかもしれない、そんな気さえしてきました。 とにかくエネルギー関係というのはトリビアてんこ盛りという感じ。
はじめ差分でだした時は面白い トリビアもあったもんだと思っていましたがこの頃はなんだかキミガワルクナッテきたそんな気さえします。趣味で楽しむのは気楽だけど本職の物理屋さんになるのはこりゃあ大変だな〜。

----------------------------------------------
/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
cov:(B+v)/(1+B*v/C^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
gamma:1/sqrt(1-cov^2/C^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
moument:diff(gamma,B,1)*m*C^2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ev(moument,B:0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ev(%,v:cov);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
diff(%,B);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ev(%,B:0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
----------------------------------------------

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その15

久しぶりに2chの質問したスレを見に行ったら188さんよりレスあり。
ニュートンは運動量保存を定義としていたとのこと、意外だ！！
ひょっとして、うーーーーんどうなんだろう。作用反作用の法則があるからやはり法則を表すものとしていたはずだと思っていたんだけど。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その14

エネルギー保存法則の本当の意味というか真髄がやっと理解できた。
前回エネルギーの計算で宇宙船が加速したとしようが外の観測者が加速したとしようが区別がつかないという事に気がついたが、つまりエネルギー保存の法則の真髄(のうちの一つ？)はこういう事なのではないでしょうか?

「エネルギー保存の法則は観測者が静止して観ていようが、つまり宇宙船の中で静止して観ているいる観測者でも、 また相対速度が定速度で観ている観測者であろうが、つまり宇宙船の外で静止して観ている観測者であろうが、
はたまた、上の場合で観測者が加速度運動して観ていようが、とにかくすべての場合で保存する。…という法則である」

もちろんそれぞれの観測者が観測するエネルギーは当然違います。特に加速度運動している観測者は刻一刻と観測するエネルギーが増減しているはずです。しかし共通しているのは全ての観測者でまた全ての時点でエネルギーは保存するという事です。

つまり、これは  「エネルギー保存の相対性原理」とでもいうようなものではないでしょうか?
そうであれば今までの運動量導出のメカニズムが全て納得できます。

まず、差分で導出できる場合ですが
http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/blog-post_19.html
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B 地球の速度、 v1，v2 球の衝突前の速度、 u1,U2 球の衝突後の速度、 m1，m2 球の質量
式1 地上で m1v1^2 + m2v^2 = m1u1^2 + m2u2^2
式2 宇宙から m1(B + v1)^2 + m2(B + v2)^2 = m1(B + u1)^2 + m2(B + u2)^2
式3 = 式2 - 式1 m1(B^2 + 2Bv1) + m2(B^2 + 2Bv2) = m1(B^2 + 2Bu1) + m2(B^2 + 2Bu2)
で、式3を整理すると運動量は m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
これは観測者が静止して観ている場合です。

一方微分で導出した場合、これは観測者が加速度運動している場合です。
相対速度Bで微分するという事の意味はBの微小変化、つまり加速度運動でのエネルギーの変化を示しています。
エネルギー保存はこの微小変化でも成立しなければならないという事です。
そしてエネルギー保存が成立するためには差分や微分の結果である運動量も保存しなければならないという事が導き出せます。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その10、   http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/10.html
(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その11、  http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/11.html

あと、どうしてエネルギー保存の等式からベクトルである運動量がでてくるのかという問題は
(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その2 、 http://akimpotos.blogspot.com/2012/01/2.html
にあるように一次元の座標系ではベクトルは代数や微分で扱えるという事でいけそうです。
なので差分でだしたエネルギー差の

B(m1v1 + m2v2 ) =  B(m1u1 + m2u2) の項は本来三次元座標系ではベクトル演算のはずです。
それは内積でないといけないはずです。とりあえず二次元で想像するとわかりやすいですが、ベクトルBが一次元の軸上にあるv1等のベクトルに作用するのはそのcos成分だからです。参考 http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision  の Two- and three-dimensional


で、運動量保存は法則か定理とか？ という問題ですが、差分でだした場合も微分でだした場合も結局観ているのはエネルギー差です。これがエネルギー保存の法則に従っているということです。  どうやら法則の手のひらからは飛び出してはいないようです。

なので、今は私個人の感想ですが、どうやら運動量保存も法則のようだ…という事に落ち着きそうな気がしてます。
それにしても、はじめはちょっと面白いなという程度で、早々に切り上げるつもりだったのですが相談した2chの方々の指摘が気になり調べて行くうちにここまできてしまいました。2chで相談に乗ってくれた方々ありがとう。並進対称性とベクトルであるとの指摘はエネルギー保存の法則の真髄の一つに気づかせてくれたものでした。それにしてもエネルギー保存の法則に相対性原理があったとは気がつきませんでした。  世に運動量保存は法則であると言われているのもそれがあるからでしょうか?
あとはせっかくここまできたのだからMAXIMAの勉強がてら特殊相対性理論での弾性衝突を仕上げて見るつもりです。
ところで、MAXIMAで何乗までの式が解けるのか試してみました。三乗が限度のようです。連立させるのは運動量でないと解けませんでした。 解はやはり三つでてます。
弾性衝突では衝突した場合としなかった場合の二つ解が無いといけないのでやはりエネルギーは二乗で無いといけないようです。

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve([m1*v1+m2*v2=m1*u1+m2*u2,
m1*(v1)^3+m2*(v2)^3=m1*(u1)^3+m2*(u2)^3],[u1,u2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その13

MAXIMAが面白くなってきたので、特殊相対性理論の弾性衝突をしている途中。
どうやら、解はない模様、なので数値解を求める方法はないか模索中。
3Dグラフで表示してもみたい。
ところで、MAXIMAでもエネルギー保存だけで弾性衝突後の速度をだす方程式を解くことができるかやってみた。一発で解けた、瞬殺だね。MAXIMAのなかってほんとどうなってんのだろう。

しかし、エネルギー保存の式はほんとうに不思議だ。 よくある例えで巨大な宇宙船の中での弾性衝突と宇宙船の外からみたものとは宇宙船の速度Bとすると明らかに大きな差があるとすると、
宇宙船がそこまで加速したという前提でいるのだけど、宇宙船の外の観測者(例えば1mmのちっちゃい宇宙船に乗った宇宙人とか)が加速してもいいわけで、その場合巨大宇宙船が加速に要するエネルギーと観測者のみが加速するエネルギーとは明らかに大きな違いがあるのに観測者からみて「巨大宇宙船の持っているエネルギー」を計算する時は現在の速度で計算するしか仕方ない。(あくまでも持っていると計算できるエネルギーのことで何か他の対象物と衝突する時に影響するエネルギーのことではない) 
つまり、宇宙船が加速したとしようが観測者が加速したとしようが区別がつかない。
してみると、Bで微分するということは観測者が加速したという影響をみているわけだ。
巨大宇宙船の中で球を発射した後宇宙船が加速しても球と外の観測者の関係は変わらないよね。あと、エネルギー保存の式、

m1*v1^2+m2*v2^2=m1*u1^2+m2*u2^2

これはただの4変数の数式…と物理から離れて冷静にみるとこれの解は無限にあるよね。
v1が速度だという思い込みで何の疑いもなく(B+v1)としているけど、これってかなりの条件を等式に与えているような気がする。 四つの変数に共通に足してもなお等式であれというのはなるほど並進対称性。？とかいうものの典型例なのかもという気もします。

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
solve([m1*v1^2+m2*v2^2=m1*u1^2+m2*u2^2,
m1*(B+v1)^2+m2*(B+v2)^2=m1*(B+u1)^2+m2*(B+u2)^2],[u1,u2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その12

今までエネルギー保存の法則から運動量保存を見てきた。「(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その1」 では小学生でも解けそうな差分（引き算）から導き出した。 世にあまたある運動量（らしきもの？）の導き方としては最簡単なものの一つじゃあないかしらん。
運動量導出コンテストがあったら優勝しそうだ。
特殊相対性理論のエネルギー保存則からは微分で導き出した、（運動量対応分 γ*m*v  そのものがずばり出てきたのにはプチ感動）微分もある意味ある地点の差分ともいえるので、とにもかくにもらしきものがでてきた。
ところで、式をよくよく見ると別に次数は何次でもかまわないことにきずいた。

たとえば3次式では  (v1+B)^3  + (v2+B)^3 = (u1+B)^3 + (u2 + B)^3

これをBで微分して B-->0 とすれば v1^2 + v2^2 = u1^2 + u2^2  となる・・・・・ええと、これはなに・・・・。  最後まで微分したら定数にもなるし。正直よくわからんが 「エミーネータさんの定理」にかんけいあるのかしらん。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

wiki では「系に連続的な対称性があればそれに対応する保存則が存在することを主張するものである。」とあるが、この対応は一つに限られるのだろうか？

まあ内容を見てもちんぷんかんぷんです。ハイ、EMANさんとこで解析力学本格的に勉強してみようかな。

しかし、上の式を見てみるとまず最初の式に保存則があるとすれば（= の関係ありと仮定するということ、共通の数学的操作を施せること・・・・）、N次では N-1次の保存関係があり、さらにまた微分をしていくといくらでも保存関係が存在するような気がする。

また関数は連続微分できればテイラー展開できることも思い起こすと・・・、必ず
つまり、「ある保存関係があれば、必ず別の保存関係が存在する」ということがいえるのじゃあないだろか？  私はこれを「保存量は一つじゃないかもの定理」と呼びたい。

酒を飲みながら書くとずいぶんと気安くかけるあなあ。

ところで、フリーの数式処理ソフトのMAXIMA、勉強中なんだけどこれ本当にいいねえ。 これ作ってくれた人ありがとう。
これで特殊相対性理論の速度合成を出してみたのだけど、ほんとたすかるわあ。 しかしいろいろなサイト見たけど速度合成、素直に数式(逆行列）でだせばよいのに何でああわからないんだろう？
物理だからいろいろ説明するためにかもしれないけどよくよく考えるといつの間にか対象が光速で走っているものがあったりして・・・。素直に斜交座標（の図で説明して）と逆行列で出せばいいのに。
式を以下に載せておくのでMAXIMAにコピーすれば使えます。
詳しい説明は無いのでわかりにくいですけど、シナリオは U space とあるのがロケットの中で、v space とあるのが ロケットの中で動く点で（ロケットの中の人が見て）よくある光路図の列車のたとえで列車のお尻の点になってます（時間軸の上のみの点になります）・・・・て書ききれないな。まあいいや。もっと簡単に座標１段でも出ますけど。（ロケット中の座標でも、この場合時間軸と距離軸に値がありますが時間と距離の読みはγ倍すればよいです）

-----------------------------------------------------------ここから
/* [wxMaxima: comment start ]
u space
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
beu:u/c;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
gmu:1/sqrt(1-beu^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
tsu:gmu*matrix([1,-beu],[-beu,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp1:invert(tsu);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(temp1.tsu);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
v space
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
bev:v/c;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
gmv:1/sqrt(1-bev^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
tsv:gmv*matrix([1,-bev],[-bev,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp2:invert(tsv);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(temp2.tsv);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
   [wxMaxima: comment end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
outvct:matrix([gmu*gmv*(c*t)],[0]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp3:temp2.temp1.outvct;
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
temp3[2]/(temp3[1]/c);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */
-----------------------------------------------------------ここまで

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その11

特殊相対性理論ではエネルギーから微分で運動量保存をだしたが、近似域でも同様に微分からでも導き出せる。

近似域のエネルギー保存の式

式2 宇宙から m1*(B + v1)^2 + m2*(B + v2)^2 = m1*(B + u1)^2 + m2*(B + u2)^2

これをBで微分すると

2*m1*(B + v1) + 2*m2*(B + v2) = 2*m1*(B + u1) + 2*m2*(B + u2)

これで、B = 0 とすると

2*m1*v1 + 2*m2*v2 = 2*m1*u1 + 2*m2*u2

となり運動量保存の関係がでてきた。

(物理)運動量保存はエネルギー保存則？ その10

運動量保存を削り出すにはやはり特殊相対性理論で元から考えないといけないようです。
特殊相対性理論ではエネルギーは γ*m*C^2です。今回も２体の弾性衝突では
WikipediaのElastic_collision にあるOne-dimensional Newtonian と同じようにエネルギー保存の式をたてます。 今回は数式処理ソフトのmaximaを使ってみます。結果はイメージで載せることにします。
まず、前提条件ですが、今度はある宇宙船の中で弾性衝突しているとします。Cは光速
B 宇宙船の速度、宇宙船の中では、v1，v2 球の衝突前の速度、 u1,U2 球の衝突後の速度、 m1，m2 球の質量
特殊相対性理論ではこれを宇宙船の外から見た場合それぞれの速度は速度合成（covとします）によります。
cov = (B + V)/(1+B*V/C^2) です。
弾性衝突のエネルギー保存の式は、γv1 をv1のガンマ等、covv1をv1のcov等として
γv1*m1*C^2 + γv2*m2*C^2 = γu1*m1*C^2 + γu2*m2*C^2
となります。  γv1 =  1/sqrt(1-covv1^2/C^2) となり。v1，v2, u1, U2 について同じかたちなので
γ =  1/sqrt(1-cov^2/C^2)で考えることにします。運動量保存は速度Vの一次の式なのでこれを削りだせないかということで弾性衝突のエネルギー保存の式をBで微分します。これはガンマだけを微分すればよいので簡単です。
弾性衝突において v1，v2, u1, U2 は不変です。なのでこれで微分することはできません。
diff(gamma,B,1);の結果をみればわかるように微分できました。
これでBを0としますと結局宇宙船の中の人と外の人は同じことを観測していることになります。
diff(gamma,B,1)の結果でB=0としてみると
結果、 -m*V*(1-V^2/C^2)^(-1/2) =  m*V*γ となります。マイナスは約分で消えます。したがってこれの
v<<C の時の近似値は m*V となり運動量保存則の近似がでてきました。
これと同じ結果は 特殊相対性理論でのエネルギーの部分 m*V*γ*C で保存則が成立するとした場合と同じになります。 ただし、これはあくまでもエネルギーであって、今回の場合は運動エネルギーγ*m*C^2のみが保存するとした場合のみから計算だけで導き出せました。つまり運動量保存則は定理であるといえるのでしょうか？.  それにしても運動量というのがやはり相対適な関係から出てくるのには驚きますね。
参考  http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum    の Modern definitions of momentum